迭代算法

迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：

（1）选一个方程的近似根，赋给变量x₀；

（2）将x₀的值保存于变量x1，然后计算g(x₁)，并将结果存于变量x₀；

（3）当x₀与x₁的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x₀就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为：

【算法】迭代法求方程的根

{     x0=初始近似根；

       do {

              x1=x0；

              x0=g(x1)；    /*按特定的方程计算新的近似根*/

              } while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；

       printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；

}

迭代算法也常用于求方程组的根，令

              X=（x₀，x₁，…，x_n-1）

设方程组为：

              x_i=g_i(X)         (I=0，1，…，n-1)

则求方程组根的迭代算法可描述如下：

【算法】迭代法求方程组的根

       {     for (i=0;i<n;i++)

                     x[i]=初始近似根;

              do {

                     for (i=0;i<n;i++)

                            y[i]=x[i];

                     for (i=0;i<n;i++)

                            x[i]=gi(X);

                     for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)

if (fabs(y[i]-x[i])>delta)       

 delta=fabs(y[i]-x[i])；

                     } while (delta>Epsilon)；

              for (i=0;i<n;i++)

                     printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”，I，x[i])；

              printf(“\n”)；

       }

       具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：

（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；

（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。