递推算法

      递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。设要求问题规模为N的解，当N=1时，解或为已知，或能非常方便地得到解。能采用递推法构造算法的问题有重要的递推性质，即当得到问题规模为i-1的解后，由问题的递推性质，能从已求得的规模为1，2，…，i-1的一系列解，构造出问题规模为I的解。这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地，由已知至i-1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至得到规模为N的解。

【问题】 阶乘计算

问题描述：编写程序，对给定的n（n≦100），计算并输出k的阶乘k！（k=1，2，…，n）的全部有效数字。

由于要求的整数可能大大超出一般整数的位数，程序用一维数组存储长整数，存储长整数数组的每个元素只存储长整数的一位数字。如有m位成整数N用数组a[ ]存储：

       N=a[m]×10^m-1+a[m-1]×10^m-2+ … +a[2]×10¹+a[1]×10⁰

并用a[0]存储长整数N的位数m，即a[0]=m。按上述约定，数组的每个元素存储k的阶乘k！的一位数字，并从低位到高位依次存于数组的第二个元素、第三个元素……。例如，5！=120，在数组中的存储形式为：

     首元素3表示长整数是一个3位数，接着是低位到高位依次是0、2、1，表示成整数120。

     计算阶乘k！可采用对已求得的阶乘(k-1)！连续累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，计算5！，可对原来的24累加4次24后得到120。细节见以下程序。

# include <stdio.h>

# include <malloc.h>

# define  MAXN   1000

void  pnext(int a[ ],int k)//已知a中的（k-1）!,求出k！在a中。

{     int *b,m=a[0],i,j,r,carry;

       b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1));

       for ( i=1;i<=m;i++)        b[i]=a[i];

       for ( j=1;j<k;j++)     //控制累加k-1次

       {     for ( carry=0,i=1;i<=m;i++)//i存放的是整数的位数

              {      r=(i<a[0]?a[i]+b[i]:a[i])+carry;//进位标志

                       a[i]=r%10;

                      carry=r/10;

              }

              if (carry)  a[++m]=carry;

       }

       free(b);

       a[0]=m;

}

void  write(int *a,int k)//功能是输出累加K次后的数组的各个位

{     int i;

       printf(“%4d！=”,k);

       for (i=a[0];i>0;i--)

              printf(“%d”,a[i]);

printf(“\n\n”);

}

void main()

{     int a[MAXN],n,k;

       printf(“Enter the number n:  “);

       scanf(“%d”,&n);

       a[0]=1;

       a[1]=1;

       write(a,1);

       for (k=2;k<=n;k++)

       {       pnext(a,k);

                write(a,k);//输出长整数的各位

                getchar();

       }

}