骑士游历问题(回溯法)

[c++]代码库

// 文件：KNIGHT.CPP
// 功能：使用回溯算法求解骑士游历问题
#include <iostream.h>
#include <iomanip.h>
enum BOOLEAN {
    TRUE = 1,
    FALSE = 0
};
const int MAX_WIDTH = 30;
const int MAX_DIR = 8;
class KNIGHT {
public:
    // FUNCTION: 设置初始状态
    KNIGHT(int width);
    // FUNCTION: 用比较直观的方式打印问题的解
    // REQUIRE: 必须先调用了成员函数tourist()
    void print();
    // FUCTION: 根据马的起始位置(start_x, start_y)使用回溯算法求骑士游历问题的一个解
    // REQUIRE: (start_x, start_y)必需在所设置的棋盘宽度范围内
    BOOLEAN tourist(int start_x, int start_y);
protected:
    // FUNCTION: 初始化记录所选方向的数组，将每个值置为MAX_DIR
    void init_direction();
    // FUNCTION: 初始化记录马在第几步到位每个位置的数组，将每个值置为0
    void init_chessboard();
    // FUNCTION: 设置初始状态，包括初始化方向数组和棋盘数组，并设置马的初始位置
    void set_start(int x, int y);
    // FUNCTION: 在当前位置选择一个方向以推进到下一位置
    // RETURN: 如果可选择一个方向推进则返回TRUE，否则返回FALSE
    // NOTE: 将该函数定义为虚函数，以便下面快速游历的类来重定义该函数而产生动态绑定
    virtual BOOLEAN select_direction();
    // FUNCTION: 从当前位置回溯到上一位置
    // NOTE: 将该函数定义为虚函数，以便下面快速游历的类来重定义该函数而产生动态绑定
    virtual void backward();
    // FUNCTION: 从当前位置推进到下一位置
    // NOTE: 将该函数定义为虚函数，以便下面快速游历的类来重定义该函数而产生动态绑定
    virtual void forward();
    // FUNCTION: 判断马是否能够走向位置(x, y)。
    // RETURN: 如果马已经到过该位置，或该位置超出棋盘范围返回FALSE，否则返回TRUE
    BOOLEAN is_legal(int x, int y);
    // FUNCTION: 判断是否回溯到初始状态
    // RETURN: 如果步数回到第1步则表示回到初始状态而返回TRUE，否则返回FALSE
    BOOLEAN back_to_start();
    // FUNCTION: 判断是否游历完所有位置
    // RETURN: 如果步数等于棋盘格子数则表示游历完所有位置而返回TRUE，否则返回FALSE
    BOOLEAN is_end();
    // 下面两个数组用来记住选择某个方向后，推进到下一位置时x方向和y方向的值的变化
    int var_x[MAX_DIR];
    int var_y[MAX_DIR];
    // 记录马第几步到达某个位置的棋盘数组
    int chessboard[MAX_WIDTH][MAX_WIDTH];
    // 记录马在某个位置是在上一位置选择第几个方向到达的
    int direction[MAX_WIDTH][MAX_WIDTH];
    int width; // 棋盘宽度
    int curr_x, curr_y; // 马的当前位置
    int step; // 已经游历的步数
    int last_direct
    ion; // 上一位置到当前位置所选的方向
};
KNIGHT::KNIGHT(int width) {
    this->width = width;
    init_direction();
    total_step = 0;
}
void KNIGHT::print() {
    int x, y;
    cout << " +";
    for (x = 0; x < width; x = x + 1) cout << "----+";
    cout << '\n';
    for (x = 0; x < width; x = x + 1) {
        cout << " |";
        for (y = 0; y < width; y = y + 1) cout << setw(3) << chessboard[x][y] << " |";
        cout << '\n';
        cout << " +";
        for (y = 0; y < width; y = y + 1) cout << "----+";
        cout << '\n';
    }
}
BOOLEAN KNIGHT::is_legal(int x, int y) {
    if (x < 0 || x >= width) return FALSE;
    if (y < 0 || y >= width) return FALSE;
    if (chessboard[x][y] > 0) return FALSE;
    return TRUE;
}
BOOLEAN KNIGHT::back_to_start() {
    if (step == 1) return TRUE;
    else return FALSE;
}
BOOLEAN KNIGHT::is_end() {
    if (step > width * width) return TRUE;
    else return FALSE;
}
void KNIGHT::set_start(int x, int y) {
    curr_x = x;
    curr_y = y;
    step = 1;
    chessboard[x][y] = step;
    step = step + 1;
    direction[x][y] = MAX_DIR;
    last_direction = MAX_DIR;
}
BOOLEAN KNIGHT::select_direction() {
    int try_x, try_y;
    // last_direction为MAX_DIR表示当前位置是一个新的位置，在新推进到某个位置(curr_x, curr_y)时，
    // direction[curr_x][curr_y]会记录上一位置到(curr_x, curr_y)时所选择的方向，这时
    // last_direction置为MAX_DIR用来标记该位置是新推进的位置。
    if (last_direction == MAX_DIR) last_direction = 0;
    else last_direction = last_direction + 1;
    while (last_direction < MAX_DIR) {
        // 看下一步推进到哪个位置是合法的，如果合法则选择该方向。
        try_x = curr_x + var_x[last_direction];
        try_y = curr_y + var_y[last_direction];
        if (is_legal(try_x, try_y)) break;
        last_direction = last_direction + 1;
    }
    if (last_direction == MAX_DIR) return FALSE;
    else return TRUE;
}
void KNIGHT::backward() {
    step = step - 1;
    chessboard[curr_x][curr_y] = 0;
    // 将last_direction置为上一位置到(curr_x, curr_y)所选择的方向
    last_direction = direction[curr_x][curr_y];
    // 根据这个方向回溯到上一位置，同时回溯到上一位置之后，在上一位置再试探时应该从
    // last_direction+1的方向开始。参看成员函数select_direction()。
    curr_x = curr_x - var_x[last_direction];
    curr_y = curr_y - var_y[last_direction];
}
void KNIGHT::forward() {
    // 在推进时last_direction是当前位置所选择的方向
    curr_x = curr_x + var_x[last_direction];
    curr_y = curr_y + var_y[last_direction];
    chessboard[curr_x][curr_y] = step;
    step = step + 1;
    // 这个方向被记录下一位置(这时已经为(curr_x, curr_y))的direction数组中。
    direction[curr_x][curr_y] = last_direction;
    // last_direction的值已经被记录，这时置为MAX_DIR表示当前位置为新推进的位置
    last_direction = MAX_DIR;
}
BOOLEAN KNIGHT::tourist(int start_x, int start_y) {
    init_chessboard();
    set_start(start_x, start_y);
    do {
        if (select_direction()) forward();
        else backward();
    } while (!back_to_start() && !is_end());
    if (back_to_start()) return FALSE;
    else return TRUE;
}
void KNIGHT::init_direction() {
    var_x[0] = 2;
    var_y[0] = 1;
    var_x[1] = 1;
    var_y[1] = 2;
    var_x[2] = -1;
    var_y[2] = 2;
    var_x[3] = -2;
    var_y[3] = 1;
    var_x[4] = -2;
    var_y[4] = -1;
    var_x[5] = -1;
    var_y[5] = -2;
    var_x[6] = 1;
    var_y[6] = -2;
    var_x[7] = 2;
    var_y[7] = -1;
}
void KNIGHT::init_chessboard() {
    int x, y, dir;
    for (x = 0; x < width; x = x + 1) {
        for (y = 0; y < width; y = y + 1) {
            chessboard[x][y] = 0;
        }
    }
}
int main() {
    int width = 8;
    KNIGHT knight(width);
    int start_x, start_y;
    cout << "\nProgram begin...\n";
    start_x = 4;
    start_y = 4;
    if (knight.tourist(start_x, start_y)) {
        knight.print();
    } else {
        cout << "\nHave not found the solution for: ";
        cout << "Start: <" << start_x << ", " << start_y << ">, ";
        cout << "Width: " << width << "\n";
    }
    return 1;
}

l 骑士游历问题的快速解
上面求解骑士游历问题的程序效率比较低，对于8×8的棋盘将花费相当长一段时间。为此我们可以在选择当前步的可能路线时增加一些启发式规则，使得这个选择从某种意义下来说是比较好的，从而加速问题的求解过程。
对于骑士游历问题一个启发式规则是，在选择当前步的方向时去选择满足下面条件的方向，当按这个方向推进到下一位置时，这个位置所可以再选择的方向最少。也就是说在当前位置优先选一个走起来比 ? quot;
艰难"的方向来推进。加入这种启发式规则之后，从运行的效果看，在求解的过程中几乎不回溯。
为了使用这个启发式规则，我们首先要修改上面的成员函数select_direction()。这时在每个位置选择方向时不再是按照一定的顺序来选择，为了避免在回溯时重复选择方向，必需记住在某个位置哪些方向已经选择过了，我们使用三维数组cannot来记住这件事情，当其值为TRUE时表示某个位置的某个方向已经试探过了，为FALSE表示没有试探过。当从当前位置回溯到上一位置是，要先把当前位置所有方向的cannot值置为FALSE，因为下一次再到达这个位置时所有方向需要重新试探。
为了研究加入启发式规则的效果，要求保留上面不使用启发式规则的程序，这样我们从KNIGHT类派生出一个类FAST_KNIGHT来支持快速求解骑士游历问题。在这个类中增加数组cannot，并且只需要重新定义select_direction(), backward()和forward()就可以了。需要重新定义backward()和forward()是因为在这两个成员函数中需要维护数组cannot的值。其它成员函数不用作任何的修改。我们在KNIGHT类中已经将这几个成员函数定义为虚函数，以便在成员函数tourist()中动态地选择这些函数来调用。读者需要学习完第八章多态性之后才能充分理解动态绑定的含义。
在下面程序中，我们只给出类FAST_KNIGHT的定义，读者很容易修改演示程序以使用类FAST_KNIGHT来求解骑士游历问题。

程序三：快速求解骑士游历问题的程序

// 文件：FASTKNIGHT.CPP
// 功能：使用回溯算法快速求解骑士游历问题
class FAST_KNIGHT: public KNIGHT {
public:
FAST_KNIGHT(int width);
protected:
// FUNCTION: 初始化cannot数组
void init_cannot();
// FUNCTION: 在当前位置根据启发式规则选择一个方向以推进到下一位置
// RETURN: 如果可选择一个方向推进则返回TRUE，否则返回FALSE
// NOTE: 重定义KNIGHT类的select_direction()
virtual BOOLEAN select_direction();
// FUNCTION: 从当前位置回溯到上一位置，注意维持cannot数组
// NOTE: 重定义KNIGHT类的backward()
virtual void backward();
// FUNCTION: 从当前位置根据所选择的方向推进到下一位置
// NOTE: 重定义KNIGHT类的forward()
virtual void forward();
// 用来记住某个位置某个方向是否已经试探过
BOOLEAN cannot[MAX_WIDTH][MAX_WIDTH][MAX_DIR];
};
FAST_KNIGHT::FAST_KNIGHT(int width): KNIGHT(width)
{
init_cannot();
}
void FAST_KNIGHT::init_cannot()
{
int x, y, dir;
for (x = 0; x < width; x = x + 1)
for (y = 0; y < width; y = y + 1)
for (dir = 0; dir < width; dir = dir + 1) cannot[x][y][dir] = FALSE;
}
BOOLEAN FAST_KNIGHT::select_direction()
{
int try_x, try_y, next_x, next_y;
int dir_index, next_index;
int min_dir, count;
min_dir = MAX_DIR; last_direction = MAX_DIR;
for (dir_index = 0; dir_index < MAX_DIR; dir_index = dir_index + 1) {
// 选择一个方向，使得根据该方向推进到下一位置时，在该位置可选的方向最少
try_x = curr_x + var_x[dir_index];
try_y = curr_y + var_y[dir_index];
if (is_legal(try_x, try_y) && !cannot[curr_x][curr_y][dir_index]) {
// 这个位置作为下一位置是合法，那么计算该位置可选的方向
count = 0;
for (next_index = 0; next_index < MAX_DIR; next_index++) {
next_x = try_x + var_x[next_index];
next_y = try_y + var_y[next_index];
if (is_legal(next_x, next_y)) count = count + 1;
}
if (count < min_dir) {
// 记录具有最少可选方向的下一位置
last_direction = dir_index;
min_dir = count;
}
}
}
if (last_direction == MAX_DIR) return FALSE;
else return TRUE;
}
void FAST_KNIGHT::backward()
{
int dir;
step = step - 1;
chessboard[curr_x][curr_y] = 0;
// 从位置(curr_x, curr_y)回溯，那么下一次再到达该位置时所有方向都需要重新试探
for (dir = 0; dir < MAX_DIR; dir = dir + 1) cannot[curr_x][curr_y][dir] = FALSE;
last_direction = direction[curr_x][curr_y];
curr_x = curr_x - var_x[last_direction];
curr_y = curr_y - var_y[last_direction];
}
void FAST_KNIGHT::forward()
{
// 该位置的这个方向已经试探过了
cannot[curr_x][curr_y][last_direction] = TRUE;
curr_x = curr_x + var_x[last_direction];
curr_y = curr_y + var_y[last_direction];
chessboard[curr_x][curr_y] = step;
step = step + 1;
direction[curr_x][curr_y] = last_direction;
last_direction = MAX_DIR;
}